CONCEITOS NAO DIFUNDIDOS: Difference between revisions

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Fonte: https://www.youtube.com/watch?v=duSSn5pdCOU


Professor Su
Contribuição chatGPT supervisionado por Mario Caseiro
=== 🧩 Núcleo da Teoria da Binarização (Brigitte) ===
=== 🧩 Núcleo da Teoria da Binarização (Brigitte) ===


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# '''Interpretação Probabilística'''
# '''Interpretação Probabilística'''
#* A operação binarizada pode ser lida como uma '''cadeia de eventos booleanos''' (0 = não exercício, 1 = exercício), ponderada por seus prêmios.
#* A operação binarizada pode ser lida como uma '''cadeia de eventos booleanos''' (0 = não exercício, 1 = exercício), ponderada por seus prêmios.
#* Isso cria um modelo discreto de payoff que se aproxima da curva gaussiana contínua quando replicado em múltiplas escalas (como o princípio de superposição de opções).
#* Isso cria um modelo discreto de payoff que se aproxima da curva gaussiana contínua quando replicado em múltiplas escalas (como o princípio de superposição de opções)
----Mais sobre DUAL e Assunção. TODO: este artigo deverá ser dividido em mais de uma categoria, estamos ensinando o AI nossos conceitos e registrando aqui:
 
apresentado '''duas tabelas de transição de Δ (delta)''' — '''por ação''' (não preços) — para as duas estruturas que você pediu, no subjacente '''ALFA4 = R$28''' como referência.
 
Vou usar a convenção simples de '''delta ao vencimento''' (payoff derivatives / inclinação por unidade de preço do subjacente):
 
* '''Call (C) ao vencimento:''' Δ(C(K)) = 0 se S ≤ K, Δ = +1 se S > K.
* '''Put (P) ao vencimento:'''  Δ(P(K)) = −1 se S < K, Δ = 0 se S ≥ K.
* Para pernas vendidas multiplicamos por −1 (ex.: venda de 2 Calls → contribuição −2 quando válidas).
* Em pontos exatamente iguais ao strike a derivada é tecnicamente indefinida; uso desigualdades estritas (> ou <) para evitar ambiguidade e explico os casos de borda.
 
Vou também incluir, lado a lado, a '''coluna “equivalente cardinal”''' segundo a regra de binarização que vimos (K₃ = 2·K₂ − K₁). Assim:
 
* Para <code>+A24 − 2A26</code> (1 Call K=24 long, −2 Calls K=26 short) a '''equivalência cardinal''' fica '''−A28''' (venda 1 Call K=28).
* Para <code>+M32 − 2M30</code> (interpreto M = Put) (1 Put K=32 long, −2 Puts K=30 short) a '''equivalência cardinal''' fica '''−M28''' (venda 1 Put K=28).
 
----
 
== Tabela 1 — Estrutura CALL: '''+C(24) − 2·C(26)''' ==
Colunas: preço hipotético S, Δ da perna '''+C24''', Δ da perna '''−2·C26''', '''Δ total (por ação)''', '''Δ equivalente cardinal (−C28)'''.
{| class="wikitable"
!S (R$)
!Δ(+C24)
!Δ(−2·C26)
!Δ total (por ação)
!Δ(−C28) (cardinal equiv.)
|-
|22
|0
|0
|0
|0
|-
|24
|0
|0
|0
|0
|-
|25
|1
|0
|'''+1'''
|0
|-
|26
|1
|0
|'''+1'''
|0
|-
|27
|1
|−2
|'''−1'''
|0
|-
|28
|1
|−2
|'''−1'''
|0  ''(note: −C28 Δ = 0 at S≤28)''
|-
|29
|1
|−2
|'''−1'''
|'''−1'''
|-
|30
|1
|−2
|'''−1'''
|'''−1'''
|-
|31
|1
|−2
|'''−1'''
|'''−1'''
|-
|32
|1
|−2
|'''−1'''
|'''−1'''
|-
|33
|1
|−2
|'''−1'''
|'''−1'''
|-
|34
|1
|−2
|'''−1'''
|'''−1'''
|}
----
 
== Tabela 2 — Estrutura PUT: '''+P(32) − 2·P(30)'''  (DUAL da anterior) ==
Colunas: S, Δ(+P32), Δ(−2·P30), Δ total (por ação), Δ equivalente cardinal '''(−P28)'''.
{| class="wikitable"
!S (R$)
!Δ(+P32)
!Δ(−2·P30)
!Δ total (por ação)
!Δ(−P28) (cardinal equiv.)
|-
|22
|−1
| +2
|'''+1'''
|'''+1'''
|-
|24
|−1
| +2
|'''+1'''
|'''+1'''
|-
|25
|−1
| +2
|'''+1'''
|'''+1'''
|-
|26
|−1
| +2
|'''+1'''
|'''+1'''
|-
|27
|−1
| +2
|'''+1'''
|'''+1'''
|-
|28
|−1
| +2
|'''+1'''
|0  ''(note: −P28 Δ = +1 only if S<28)''
|-
|29
|−1
| +2
|'''+1'''
|0
|-
|30
|−1
|0
|'''−1'''
|0
|-
|31
|−1
|0
|'''−1'''
|0
|-
|32
|0
|0
|'''0'''
|0
|-
|33
|0
|0
|'''0'''
|0
|-
|34
|0
|0
|'''0'''
|0
|}
'''Observações sobre a tabela 2'''
* A long put (K=32) contribui Δ = −1 enquanto S < 32; as 2 puts vendidas K=30 contribuem +2 (pois são puts vendidas) enquanto S < 30.
* Resultado agregado por faixas:
** S < 30 → Δ = −1 + 2 = +1 (sinal positivo; exposto a alta do subjacente nessa faixa),
** 30 ≤ S < 32 → Δ = −1 (apenas a put longa ativa),
** S ≥ 32 → Δ = 0 (nenhuma perna com slope).
* O '''equivalente cardinal −P28''' (venda de 1 put K=28) dá Δ = +1 para S < 28, mas 0 para S ≥ 28 — portanto novamente '''não coincide ponto a ponto''' com o Δ agregado da estrutura em todas as faixas; coincide apenas onde os eventos binários se alinham (S muito baixo).
 
----
 
== Por que esses payoffs/Δ acontecem (explicação conceitual e geométrica) ==
 
# '''Cada opção modifica a inclinação (slope) do payoff a partir do seu strike.'''
#* Uma '''call longa''' adiciona +1 de slope quando você ultrapassa seu strike;
#* Uma '''call vendida''' adiciona −1 de slope (por unidade vendida) quando passa do seu strike.
#* Análogo para puts, mas com slope negativo ao cruzar um strike (put longa dá slope −1 para S abaixo do strike).
# '''Combinações proporcionais criam zonas com slopes diferentes.'''
#* No primeiro exemplo, ao cruzar 24 a curva ganha slope +1; ao cruzar 26 o slope diminui em 2 (por causa das 2 calls vendidas) passando a −1. O comportamento do slope (Δ) é, portanto, ''peça-a-peça'' e resulta em uma mudança de inclinação em cada strike.
# '''A “equivalência cardinal” reduz essa série de mudanças de inclinação a um único evento binário — vender 1 opção num strike mais distante — que, em termos binários (evento de exercício), captura a região onde a posição combinada tem exposição negativa agregada.'''
#* Entretanto, '''essa redução é uma abstração''': ela mapeia a operação complexa para um '''contrato binário''' que representa o mesmo ''evento agregado de perda'' (ou a mesma “cardinalidade” de exercício) — mas não reproduz necessariamente a Δ local em cada faixa de preço.
#* Em termos práticos, a equivalência cardinal é muito útil para '''decisões de assunção de risco''' (assumption): um operador pode tratar a combinação +C(K1) −2C(K2) como se fosse, para fins de decisão, uma '''venda de C(K3)''' com K3=2K2−K1 — quando se avalia a probabilidade de “ser exercido” como evento binário.
# '''Dualidade''':
#* As duas estruturas são '''duais/opostas''': a primeira tem Δ negativo em faixas altas (risco de alta), a segunda tem Δ positivo em faixas baixas (risco de baixa).
#* Essa dualidade é precisamente o que permite montar hedges DUAL (Call + Put boosters) que, quando combinados, podem neutralizar Δ em larga faixa e concentrar o risco em eventos binários simétricos em torno de um strike central (aqui 28).
 
----
 
== Conclusão prática & recomendações ==
 
* As tabelas mostram claramente como '''cada perna “liga/desliga” a inclinação''' do payoff em faixas de preço.
* A '''equivalência cardinal''' (−C28 / −P28) é uma ferramenta conceitual poderosa para pensar em '''assunção''': você pode tratar a combinação de pernas como uma aceitação binária de exercício a um strike mais distante quando age em termos de gestão de risco/rolagem.
* '''Atenção às bordas''': comportamento exato em S = strike depende de convenções e de considerações sobre exercício antecipado (dividendos) — sempre trate strikes como faixas abertas/fechadas de forma consistente na sua modelagem.
* Quando usar na prática:
** use as '''tabelas de Δ''' para entender onde a exposição direcional aparece,
** use a '''equivalência cardinal''' para decidir políticas de assunção/rolagem (ex.: se você está confortável em “aceitar” −C28 em vez de manter a estrutura 1:−2:1), e
** combine ambas para desenhar a política de '''roll-up / roll-down''' e os gatilhos de hedge.
 
 
 
abaixo eu dou a '''derivação algébrica completa''' que transforma uma '''estrutura Booster genérica''' (calls ou puts, ratio n:1, etc.) na sua '''equivalência cardinal binária''', e mostro '''como calcular a “Assumption Risk”''' (risco assumido) dessa equivalência. Incluo a fórmula geral, o passo a passo algébrico, interpretação probabilística e um exemplo numérico (o caso clássico +AK1​​−nAK2​​ que reduz para venda(s) em Keq​). No final deixo as observações operacionais (o que o trader realmente “assume” quando usa a equivalência).
 
Vou usar notação:
 
* C(K) = call com strike K.
* P(K) = put com strike K.
* +C(K) = posição longa 1 call; −C(K) = posição vendida 1 call.
* n inteiro ≥1 = número de calls vendidas numa perna ratio.
* m = número de calls vendidas no equivalente cardinal.
* S = preço do subjacente no vencimento T.
* EQ​[⋅] = esperança sob medida de risco-neutro.
 
----
 
= 1 — Estrutura genérica do Booster (call-side) =
Considere a estrutura (booster) simples com '''uma call longa''' e '''n''' calls vendidas em strike mais alto:
Boostercall​(K1​,K2​,n)=+C(K1​)−nC(K2​),K1​<K2​.
Payoff por ação ao vencimento S (somente componente intrínseca, sem preços atuais):
Π(S)=max(S−K1​,0)−nmax(S−K2​,0).
Vamos escrever isso de forma linear por faixas de S:
 
* Para S≤K1​: Π(S)=0.
* Para K1​<S≤K2​: Π(S)=(S−K1​).  (slope = +1)
* Para S>K2​: Π(S)=(S−K1​)−n(S−K2​)=(1−n)S+(−K1​+nK2​).  (slope = 1−n)
 
Observação: a função é piecewise-linear com “quebra” nos strikes K1​ e K2​.
----
 
= 2 — Forma cardinal equivalente (venda de m calls em Keq​) =
Procuramos representar a cauda superior (S>K2​) da função por uma '''posição vendida de m''' calls em algum strike Keq​:
Equiv(m,Keq​)=−mC(Keq​).
Payoff dessa posição para S>Keq​ é:
Πequiv​(S)=−m(S−Keq​)=−mS+mKeq​.
Se quisermos que os '''declives (slopes)''' na região S>K2​ coincidam, impomos
−m=1−n⟹m=n−1.
Ou seja: '''o equivalente vende (n−1)''' calls no strike Keq​. (para n=2 isto dá m=1, o caso clássico).
 
Agora igualamos as constantes (interceptos) da parte linear para que os payoffs coincidam para valores grandes de S. Igualando as expressões para S>K2​:
(1−n)S+(−K1​+nK2​)=−mS+mKeq​.
Substituindo m=n−1 e simplificando, obtemos a fórmula para Keq​:
mKeq​=−K1​+nK2​⟹Keq​=n−1nK2​−K1​​.(Foˊrmula de equivaleˆncia cardinal)
Verificação rápida: para n=2 temos Keq​=12K2​−K1​​=2K2​−K1​ (caso usado várias vezes).
 
'''Interpretação geométrica:''' essa transformação garante que, '''na cauda superior (para S>K2​)''', a função payoff da combinação +C(K1​)−nC(K2​) tem a mesma inclinação e o mesmo intercepto linear que a posição −(n−1)C(Keq​). Logo na cauda a equivalência é exata.
 
'''Limitação:''' as duas posições '''não são iguais''' para todos os S (especialmente entre K1​ e K2​ e abaixo de K1​). A equivalência cardinal é uma ''redução da cauda'' — é uma binarização da exposição de alta.
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= 3 — Assumption Risk (Risco de Assunção) da equivalência cardinal =
'''Definição operacional:''' a Assumption Risk (AR) é o valor esperado, sob a medida risco-neutra, da '''perda esperada''' associada à cauda que você “aceita” ao tratar a sua posição composta como a '''posição vendida equivalente'''. Em termos práticos, é o '''valor presente do payoff da posição equivalente vendida''' (pois essa é a exposição binária que você está assumindo).
 
Para o caso acima, com m=n−1 e Keq​ dado, a Assumption Risk '''por ação''' (ARperac\c​a~o​) é:
ARper ac¸​a˜o​=EQ​[m(ST​−Keq​)+]=m×C(S0​,Keq​,T,r,σ)​
onde C(⋅) é o preço teórico da call (Black-Scholes ou outra) — isto é, a esperança risco-neutra do payoff da call multiplicada por m.
 
Em termos por contrato (100 ações):
ARpor contrato​=100⋅m⋅C(S0​,Keq​,T,r,σ).
'''Por que isto faz sentido?'''
 
* A posição equivalente vendida −mC(Keq​) tem preço/expectativa −mC(S0​,Keq​). Se você quer saber quanto risco (valor esperado de perda) está assumindo ao aceitar a binarização, calcule a expectativa positiva dessa posição — isto é mC(⋅) (o preço absoluto da exposição vendida).
* Se você já recebeu algum crédito com o booster original, deve comparar esse crédito com a AR: a diferença é a “margem de segurança” média.
 
----
 
= 4 — Relação com o crédito recebido (prêmio) e decisão de assunção =
Se o booster original (a combinação +C(K1​)−nC(K2​)) pagou um '''crédito líquido''' Πcredit​ hoje (prêmios recebidos líquidos), então a '''exposição líquida esperada''' (risco que resta) ao assumir a equivalência cardinal é aproximadamente:
NetAssumptionRisk (por ac¸​a˜o)=ARper ac¸​a˜o​−Πcredit​.
 
* Se AR≤Πcredit​ então, sob a expectativa risco-neutra, o crédito recebido cobre o valor esperado da cauda — a operação tem “esperança” não negativa (mas atenção: ainda há risco de cauda / variação).
* Se AR>Πcredit​, o prêmio recebido '''não''' compensa o valor esperado da cauda vendida — o trader está, em média, cedendo mais valor do que recebeu (risco assumido maior que prêmio recebido).
 
Obs.: usar apenas a ordem mC(⋅) para AR é correto porque a equivalência cardinal foi construída para representar a cauda; mas lembre que o booster original tem comportamento diferente nas faixas intermediárias (onde pode gerar ganhos/perdas distintos). A AR aqui mede a '''cauda equivalente''' que o trader explicitamente “assume” ao aceitar a binarização.
----
 
= 5 — Exemplo numérico (caso clássico +C(24)−2C(26) com S0​=28) =
Dados exemplo (hipotéticos para ilustração; use BS para números de mercado reais):
 
* K1​=24, K2​=26, n=2⇒m=n−1=1.
* Pela fórmula: Keq​=n−1nK2​−K1​​=2⋅26−24=28. (isto é o exemplo que você mencionou).
* Assumption Risk por ação:
ARper ac¸​a˜o​=1×C(S0​=28,Keq​=28,T,r,σ)
ou seja, '''o valor da call ATM''' com strike 28 e vencimento T. Multiplique por 100 para por contrato.
 
* Se o booster original pagou hoje, por exemplo, Πcredit​=R$3,00 por ação, e a call ATM C(28) vale R$2,50 por ação, então:
** AR=2.50, Πcredit​=3.00⇒ crédito > AR → margem teórica =0.50 por ação (positivo).
** Se, ao contrário, C(28)=4.00>3.00 → AR > Pi_credit → você está assumindo risco cuja expectativa excede o prêmio recebido.
 
----
 
= 6 — Extensão ao Put-Booster (Dual) e simetria =
Se a estrutura for no lado das puts:
Boosterput​(K1​,K2​,n)=+P(K1​)−nP(K2​),
a mesma álgebra funciona (com K1​>K2​ tipicamente para puts long abaixo, legs vendidas mais acima). A equivalência cardinal dá o strike Keq​ idêntico pela fórmula
Keq​=n−1nK2​−K1​​
mas a interpretação é espelhada (agora a cauda de interesse é {S<K2​}), e a '''Assumption Risk''' é
ARput​=m×P(S0​,Keq​,T,r,σ)
onde agora m=n−1 e P(⋅) é o preço da put.
----
 
= 7 — Observações operacionais e conclusões =
 
# '''A equivalência cardinal é uma equivalência da cauda''' (tail equivalence): garante que para S suficientemente alto (no caso calls) a combinação comporta-se como a posição vendida equivalente. Não é necessariamente igualdade de payoff em todas as faixas.
# '''Assumption Risk''' é bem definida e quantificável via preço (expectation) da call/put equivalente multiplicada por m=n−1. Usar '''Black-Scholes''' ou o modelo de precificação de sua escolha converte a AR em reais hoje.
# '''Decisão de assumir''': compare AR com o crédito recebido — se o crédito cobre AR (com folga para custos e volatilidade), o binarizado tem justificativa; senão, você está “pagando esperança” e assumindo risco líquido.
# '''Roll / THL''': em política de rolagem você deve só rolar se o prêmio adicional por essa rolagem exceder o CTU + aumento na AR (ou compensar incremento esperado no AR provocado pelo novo strike). Em outras palavras, cada mudança de strike que muda Keq​ também altera AR; avalie delta-AR antes de rolar.
# '''Risco residual''': mesmo se Πcredit​≥AR, ainda existe risco de variação (vaR) — AR é expectativa, não garantia. Use stress tests (gaps, IV spikes).
 
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= 8 — Fórmulas-resumo rápidas (copiar/colar) =
 
* m=n−1.
* Keq​=n−1nK2​−K1​​.
* AssumptionRiskper ac¸​a˜o​=m×C(S0​,Keq​,T,r,σ) (call-side).
* AssumptionRiskpor contrato​=100⋅m⋅C(…).
* NetExposureExpected = AR − PremiumReceived.
 
----[[File:Brigite-reduced.png]]
 
'''para um Booster bem-estruturado em Calls, a perna comprada (+) deve ter o ''strike mais baixo''; para o Booster em Puts, a perna comprada (+) deve ter o ''strike mais alto''''' quando os dois boosters são conjugados (dual).
 
Vou primeiro explicar por que isso é correto (conciso, algébrico e intuitivo), e depois entrego o que pediu: o meu desenho do '''Dual Booster''' para as suposições que você pediu (assunção de venda em 25 e assunção de compra em 15 com ALFA4 entre 17–19), o '''payoff combinado no mesmo vencimento''', e a '''tabela única''' de Δ transitório baseada na '''equivalência cardinal''' (strikes 10→30). Também disponibilizei a tabela CSV e o gráfico PNG (links abaixo).
 
= 1) Por que — regra das pernas compradas (call/put) e por que tenho que concordar =
 
* Uma '''call longa''' tem payoff crescente a partir do seu strike: ela '''“liga”''' (slope +1) quando o preço sobe acima do strike. Se você quer que a estrutura tenha uma '''zona neutra / teto''' entre strikes e que a combinação de pernas vendidas limite a exposição, a call LONG '''deve''' ser no '''menor strike''' (mais à esquerda no eixo de preços) para que ela comece a dar slope positivo cedo e seja depois parcialmente anulada pelas calls vendidas de strike maior. Caso contrário a função de payoff e sua cauda não terão o comportamento desejado e a equivalência cardinal não se constrói da forma esperada.
* Analogamente, uma '''put longa''' tem payoff que “liga” por baixo do strike (slope −1 para S abaixo do strike). Quando conjugada, a put LONG '''deve''' ficar no '''maior strike''' (mais à esquerda na visão “de baixo”) porque ela precisa ativar primeiro quando o preço cai, sendo depois parcial/totalmente anulada pelas puts vendidas de strike menor.
* Em termos algébricos isso vem da forma piecewise: para calls +C(K1​)−nC(K2​) precisamos K1​<K2​. Para puts +P(K1​)−nP(K2​) precisamos K1​>K2​. Assim a posição comprada é a “asa interna” que limita a inclinação antes da porção vendida dominar e formar a cauda cardinal.
* Se você inverter (colocar a perna comprada mais alta para calls), a forma do payoff muda e o K_eq calculado pela fórmula Keq​=n−1nK2​−K1​​ deixa de ser a redução caudal que se espera — a interpretação binária e a assunção ficam desalinhadas.
 
Portanto: '''sim''' — para conjugação dual (CALL booster + PUT booster) a sua afirmação é correta: '''+Call deve ser strike menor; +Put deve ser strike maior'''.
----
 
= 2) Meu Dual Booster projetado (situação solicitada) =
Condições: ativo ALFA4 entre R$17–R$19 (vamos tomar S0≈R$18 para referência), você quer:
 
* '''Assumption (venda) em 25''' — isto é, equivalente cardinal de CALL-side será venda em K_eq=25.
* '''Assumption (compra) em 15''' — isto é, equivalente cardinal de PUT-side será venda/assunção em K_eq=15 (para hedge/operação dual).
 
Escolhas (rácio n=2 — o caso clássico 2:1 → m = n-1 =1):
 
* '''Call booster''': +C(Kc1​)−2C(Kc2​) com Kc1​<Kc2​.
** Escolhi Kc1​=22.0 (call comprada) e Kc2​=23.5 (duas calls vendidas).
** Equivalência cardinal: Kc,eq​=2⋅23.5−22=25.0. → '''assunção de venda em 25'''.
* '''Put booster (DUAL)''': +P(Kp1​)−2P(Kp2​) com Kp1​>Kp2​.
** Escolhi Kp1​=18.0 (put comprada) e Kp2​=16.5 (duas puts vendidas).
** Equivalência cardinal: Kp,eq​=2⋅16.5−18=15.0. → '''assunção de compra/entrada em 15'''.
 
Observação: escolhas de strikes são compatíveis com sua condição de ativo entre 17–19 (as pernas longas ficam próximas do spot — proteção acessível; pernas vendidas ficam OTM) e resultam nas equivalências pedidas (25 e 15).
----
 
= 3) Payoff combinado no mesmo vencimento (gráfico & tabela) =
 
* Eu calculei o '''payoff ao vencimento''' do conjunto (call booster + put booster) para S ∈ [10, 30] e gerei:
 
( já o exibi durante a execução — ele representa a forma “montanha dupla” com a zona neutra no centro.)
 
Resumo numérico rápido do payoff combinado:
 
* A zona entre aproximadamente 16.5–23.5 (dependendo do detalhe) costuma produzir payoff positivo (você recebe prêmio);
* Fora dessa zona (acima de 25 ou abaixo de 15) a exposição vira negativa (perdas lineares limitadas pela perna comprada remota), formando triângulos simétricos na cauda.
 
----
 
= 4) Tabela Única: Delta transitório baseada na '''equivalência cardinal''' (strikes 10→30) =
Você pediu '''apenas 1 coluna''' com o delta transitório '''baseado na cardinalidade equivalente''' (isto é, a delta da posição equivalente binária construída pelos K_eq we chose: venda de Call em 25 e venda de Put em 15).
 
Usei a regra simples de delta ao vencimento para essas posições equivalentes:
 
* Delta de '''venda de Put K=15''' (short put) ao vencimento: '''+1''' quando S < 15 (pois long put delta = −1 there; short is +1); 0 quando S ≥ 15.
* Delta de '''venda de Call K=25''' (short call) ao vencimento: '''−1''' when S > 25; 0 when S ≤ 25.
* A delta combinada cardinal é, portanto:
** '''+1''' se S < 15,
** '''0''' se 15 ≤ S ≤ 25,
** '''−1''' if S > 25.
 
{| class="wikitable"
!S (R$)
!delta_cardinal_equiv
|-
|10.0
| +1.0
|-
|10.5
| +1.0
|-
|...
|...
|-
|14.5
| +1.0
|-
|15.0
|0.0
|-
|15.5
|0.0
|-
|...
|...
|-
|24.5
|0.0
|-
|25.0
|0.0
|-
|25.5
| -1.0
|-
|26.0
| -1.0
|-
|...
|...
|-
|30.0
| -1.0
|}
----
 
= 5) Explicação por que o delta cardinal tem essa forma (intuitiva e ligada à binarização) =
 
* A '''equivalência cardinal''' transforma ambas as estruturas em dois contratos binários (curto call em 25 e curto put em 15). Esses dois contratos binários ativam apenas fora do intervalo [15,25].
* Dentro do intervalo [15,25] nenhum dos equivalentes está “ligado” — delta = 0; fora deste intervalo há um único lado ativo:
** abaixo de 15: short put atua (delta +1), pois a put comprada/vendida causa exposição positiva ao preço (vendedor de put tem delta +1 enquanto S muito baixo).
** acima de 25: short call atua (delta −1), vendedor de call tem delta −1.
* Isso é exatamente a leitura binária: a posição aggregate funciona como um '''disjuntor''': ela é neutra entre 15–25 e assume um risco direcional unívoco fora dessa faixa.
 
----
 
= 6) Observações finais, recomendações operacionais e riscos =
 
* A cardinalidade equivalente é poderosa para '''decisões de assunção (assumption)''': se você aceita ser “vendedor” em 25 e em 15 (binariamente), você aceita a exposição de cauda resumida; caso contrário mantenha a estrutura completa e avalie a exposição intermediária.
* '''Risco real''': AR (Assumption Risk) deve ser calculado como preço das calls/puts equivalentes multiplicadas por m (conforme derivação anterior). Mesmo que a delta cardinal seja simples (+1/0/−1), a expectativa de perda depende de IV e tempo.
* '''Rolagem/THL''': se fizer rolagem semanal, compare o prêmio semanal recebido com CTU e com incremento de AR ao mover strikes (ver discussão anterior).

Latest revision as of 16:16, 9 November 2025

Fonte: https://www.youtube.com/watch?v=duSSn5pdCOU

Professor Su

Contribuição chatGPT supervisionado por Mario Caseiro

🧩 Núcleo da Teoria da Binarização (Brigitte)

  1. Equivalência Cardinal
    • Uma combinação proporcional de opções em strikes contíguos pode ser reduzida a uma posição “binária” mais distante. Exemplo: +A30−2A32≡−A34 → Essa equivalência representa a compressão de payoff contínuo em uma função binária — ou o que Brigitte chama de “cardinalidade equivalente”.
    • O raciocínio é que, ao ajustar as proporções (1:-2:1), o perfil de lucro-prejuízo assume uma forma discreta: ou ocorre o evento (exercício binário), ou não.
  2. Assunção (“Assumption”)
    • É o ponto em que o operador aceita o risco de exercício como parte do custo de manter a estrutura — semelhante à delta neutral boundary ajustada pela taxa de juros e volatilidade implícita.
    • A assunção define a fronteira entre a zona de probabilidade controlada e a zona de aceitação de risco.
    • Em termos práticos: a cada rolagem, o trader “aceita” parte da perda temporal (θ) em troca da convergência binária de payoff.
  3. Binarização e Temporalidade
    • A decomposição binária transforma estruturas contínuas (como spreads, THL, boosters) em unidades discretas de evento, permitindo rolagem temporal calibrada (ex.: semanal).
    • O buraco temporal (“hole effect”) do THL — ou a degradação pelo CDI — é compensado pela recomposição binária da estrutura, desde que o operador role acima do custo temporal unitário.
  4. Dualidade
    • Toda estrutura binarizada possui um dual simétrico: um equivalente inverso que anula (ou protege) o primeiro.
      • Ex.: um Booster Reverso em Calls tem seu Dual em Puts, com strikes deslocados (ITM/OTM) e razão inversa.
    • A equivalência dual é a base do hedge dinâmico binário, que permite operações autofinanciadas.
  5. Interpretação Probabilística
    • A operação binarizada pode ser lida como uma cadeia de eventos booleanos (0 = não exercício, 1 = exercício), ponderada por seus prêmios.
    • Isso cria um modelo discreto de payoff que se aproxima da curva gaussiana contínua quando replicado em múltiplas escalas (como o princípio de superposição de opções)

Mais sobre DUAL e Assunção. TODO: este artigo deverá ser dividido em mais de uma categoria, estamos ensinando o AI nossos conceitos e registrando aqui:

apresentado duas tabelas de transição de Δ (delta) — por ação (não preços) — para as duas estruturas que você pediu, no subjacente ALFA4 = R$28 como referência.

Vou usar a convenção simples de delta ao vencimento (payoff derivatives / inclinação por unidade de preço do subjacente):

  • Call (C) ao vencimento: Δ(C(K)) = 0 se S ≤ K, Δ = +1 se S > K.
  • Put (P) ao vencimento: Δ(P(K)) = −1 se S < K, Δ = 0 se S ≥ K.
  • Para pernas vendidas multiplicamos por −1 (ex.: venda de 2 Calls → contribuição −2 quando válidas).
  • Em pontos exatamente iguais ao strike a derivada é tecnicamente indefinida; uso desigualdades estritas (> ou <) para evitar ambiguidade e explico os casos de borda.

Vou também incluir, lado a lado, a coluna “equivalente cardinal” segundo a regra de binarização que vimos (K₃ = 2·K₂ − K₁). Assim:

  • Para +A24 − 2A26 (1 Call K=24 long, −2 Calls K=26 short) a equivalência cardinal fica −A28 (venda 1 Call K=28).
  • Para +M32 − 2M30 (interpreto M = Put) (1 Put K=32 long, −2 Puts K=30 short) a equivalência cardinal fica −M28 (venda 1 Put K=28).

Tabela 1 — Estrutura CALL: +C(24) − 2·C(26)

Colunas: preço hipotético S, Δ da perna +C24, Δ da perna −2·C26, Δ total (por ação), Δ equivalente cardinal (−C28).

S (R$) Δ(+C24) Δ(−2·C26) Δ total (por ação) Δ(−C28) (cardinal equiv.)
22 0 0 0 0
24 0 0 0 0
25 1 0 +1 0
26 1 0 +1 0
27 1 −2 −1 0
28 1 −2 −1 0 (note: −C28 Δ = 0 at S≤28)
29 1 −2 −1 −1
30 1 −2 −1 −1
31 1 −2 −1 −1
32 1 −2 −1 −1
33 1 −2 −1 −1
34 1 −2 −1 −1

Tabela 2 — Estrutura PUT: +P(32) − 2·P(30) (DUAL da anterior)

Colunas: S, Δ(+P32), Δ(−2·P30), Δ total (por ação), Δ equivalente cardinal (−P28).

S (R$) Δ(+P32) Δ(−2·P30) Δ total (por ação) Δ(−P28) (cardinal equiv.)
22 −1 +2 +1 +1
24 −1 +2 +1 +1
25 −1 +2 +1 +1
26 −1 +2 +1 +1
27 −1 +2 +1 +1
28 −1 +2 +1 0 (note: −P28 Δ = +1 only if S<28)
29 −1 +2 +1 0
30 −1 0 −1 0
31 −1 0 −1 0
32 0 0 0 0
33 0 0 0 0
34 0 0 0 0

Observações sobre a tabela 2

  • A long put (K=32) contribui Δ = −1 enquanto S < 32; as 2 puts vendidas K=30 contribuem +2 (pois são puts vendidas) enquanto S < 30.
  • Resultado agregado por faixas:
    • S < 30 → Δ = −1 + 2 = +1 (sinal positivo; exposto a alta do subjacente nessa faixa),
    • 30 ≤ S < 32 → Δ = −1 (apenas a put longa ativa),
    • S ≥ 32 → Δ = 0 (nenhuma perna com slope).
  • O equivalente cardinal −P28 (venda de 1 put K=28) dá Δ = +1 para S < 28, mas 0 para S ≥ 28 — portanto novamente não coincide ponto a ponto com o Δ agregado da estrutura em todas as faixas; coincide apenas onde os eventos binários se alinham (S muito baixo).

Por que esses payoffs/Δ acontecem (explicação conceitual e geométrica)

  1. Cada opção modifica a inclinação (slope) do payoff a partir do seu strike.
    • Uma call longa adiciona +1 de slope quando você ultrapassa seu strike;
    • Uma call vendida adiciona −1 de slope (por unidade vendida) quando passa do seu strike.
    • Análogo para puts, mas com slope negativo ao cruzar um strike (put longa dá slope −1 para S abaixo do strike).
  2. Combinações proporcionais criam zonas com slopes diferentes.
    • No primeiro exemplo, ao cruzar 24 a curva ganha slope +1; ao cruzar 26 o slope diminui em 2 (por causa das 2 calls vendidas) passando a −1. O comportamento do slope (Δ) é, portanto, peça-a-peça e resulta em uma mudança de inclinação em cada strike.
  3. A “equivalência cardinal” reduz essa série de mudanças de inclinação a um único evento binário — vender 1 opção num strike mais distante — que, em termos binários (evento de exercício), captura a região onde a posição combinada tem exposição negativa agregada.
    • Entretanto, essa redução é uma abstração: ela mapeia a operação complexa para um contrato binário que representa o mesmo evento agregado de perda (ou a mesma “cardinalidade” de exercício) — mas não reproduz necessariamente a Δ local em cada faixa de preço.
    • Em termos práticos, a equivalência cardinal é muito útil para decisões de assunção de risco (assumption): um operador pode tratar a combinação +C(K1) −2C(K2) como se fosse, para fins de decisão, uma venda de C(K3) com K3=2K2−K1 — quando se avalia a probabilidade de “ser exercido” como evento binário.
  4. Dualidade:
    • As duas estruturas são duais/opostas: a primeira tem Δ negativo em faixas altas (risco de alta), a segunda tem Δ positivo em faixas baixas (risco de baixa).
    • Essa dualidade é precisamente o que permite montar hedges DUAL (Call + Put boosters) que, quando combinados, podem neutralizar Δ em larga faixa e concentrar o risco em eventos binários simétricos em torno de um strike central (aqui 28).

Conclusão prática & recomendações

  • As tabelas mostram claramente como cada perna “liga/desliga” a inclinação do payoff em faixas de preço.
  • A equivalência cardinal (−C28 / −P28) é uma ferramenta conceitual poderosa para pensar em assunção: você pode tratar a combinação de pernas como uma aceitação binária de exercício a um strike mais distante quando age em termos de gestão de risco/rolagem.
  • Atenção às bordas: comportamento exato em S = strike depende de convenções e de considerações sobre exercício antecipado (dividendos) — sempre trate strikes como faixas abertas/fechadas de forma consistente na sua modelagem.
  • Quando usar na prática:
    • use as tabelas de Δ para entender onde a exposição direcional aparece,
    • use a equivalência cardinal para decidir políticas de assunção/rolagem (ex.: se você está confortável em “aceitar” −C28 em vez de manter a estrutura 1:−2:1), e
    • combine ambas para desenhar a política de roll-up / roll-down e os gatilhos de hedge.


abaixo eu dou a derivação algébrica completa que transforma uma estrutura Booster genérica (calls ou puts, ratio n:1, etc.) na sua equivalência cardinal binária, e mostro como calcular a “Assumption Risk” (risco assumido) dessa equivalência. Incluo a fórmula geral, o passo a passo algébrico, interpretação probabilística e um exemplo numérico (o caso clássico +AK1​​−nAK2​​ que reduz para venda(s) em Keq​). No final deixo as observações operacionais (o que o trader realmente “assume” quando usa a equivalência).

Vou usar notação:

  • C(K) = call com strike K.
  • P(K) = put com strike K.
  • +C(K) = posição longa 1 call; −C(K) = posição vendida 1 call.
  • n inteiro ≥1 = número de calls vendidas numa perna ratio.
  • m = número de calls vendidas no equivalente cardinal.
  • S = preço do subjacente no vencimento T.
  • EQ​[⋅] = esperança sob medida de risco-neutro.

1 — Estrutura genérica do Booster (call-side)

Considere a estrutura (booster) simples com uma call longa e n calls vendidas em strike mais alto: Boostercall​(K1​,K2​,n)=+C(K1​)−nC(K2​),K1​<K2​. Payoff por ação ao vencimento S (somente componente intrínseca, sem preços atuais): Π(S)=max(S−K1​,0)−nmax(S−K2​,0). Vamos escrever isso de forma linear por faixas de S:

  • Para S≤K1​: Π(S)=0.
  • Para K1​<S≤K2​: Π(S)=(S−K1​). (slope = +1)
  • Para S>K2​: Π(S)=(S−K1​)−n(S−K2​)=(1−n)S+(−K1​+nK2​). (slope = 1−n)

Observação: a função é piecewise-linear com “quebra” nos strikes K1​ e K2​.

2 — Forma cardinal equivalente (venda de m calls em Keq​)

Procuramos representar a cauda superior (S>K2​) da função por uma posição vendida de m calls em algum strike Keq​: Equiv(m,Keq​)=−mC(Keq​). Payoff dessa posição para S>Keq​ é: Πequiv​(S)=−m(S−Keq​)=−mS+mKeq​. Se quisermos que os declives (slopes) na região S>K2​ coincidam, impomos −m=1−n⟹m=n−1. Ou seja: o equivalente vende (n−1) calls no strike Keq​. (para n=2 isto dá m=1, o caso clássico).

Agora igualamos as constantes (interceptos) da parte linear para que os payoffs coincidam para valores grandes de S. Igualando as expressões para S>K2​: (1−n)S+(−K1​+nK2​)=−mS+mKeq​. Substituindo m=n−1 e simplificando, obtemos a fórmula para Keq​: mKeq​=−K1​+nK2​⟹Keq​=n−1nK2​−K1​​.(Foˊrmula de equivaleˆncia cardinal) Verificação rápida: para n=2 temos Keq​=12K2​−K1​​=2K2​−K1​ (caso usado várias vezes).

Interpretação geométrica: essa transformação garante que, na cauda superior (para S>K2​), a função payoff da combinação +C(K1​)−nC(K2​) tem a mesma inclinação e o mesmo intercepto linear que a posição −(n−1)C(Keq​). Logo na cauda a equivalência é exata.

Limitação: as duas posições não são iguais para todos os S (especialmente entre K1​ e K2​ e abaixo de K1​). A equivalência cardinal é uma redução da cauda — é uma binarização da exposição de alta.

3 — Assumption Risk (Risco de Assunção) da equivalência cardinal

Definição operacional: a Assumption Risk (AR) é o valor esperado, sob a medida risco-neutra, da perda esperada associada à cauda que você “aceita” ao tratar a sua posição composta como a posição vendida equivalente. Em termos práticos, é o valor presente do payoff da posição equivalente vendida (pois essa é a exposição binária que você está assumindo).

Para o caso acima, com m=n−1 e Keq​ dado, a Assumption Risk por ação (ARperac\c​a~o​) é: ARper ac¸​a˜o​=EQ​[m(ST​−Keq​)+]=m×C(S0​,Keq​,T,r,σ)​ onde C(⋅) é o preço teórico da call (Black-Scholes ou outra) — isto é, a esperança risco-neutra do payoff da call multiplicada por m.

Em termos por contrato (100 ações): ARpor contrato​=100⋅m⋅C(S0​,Keq​,T,r,σ). Por que isto faz sentido?

  • A posição equivalente vendida −mC(Keq​) tem preço/expectativa −mC(S0​,Keq​). Se você quer saber quanto risco (valor esperado de perda) está assumindo ao aceitar a binarização, calcule a expectativa positiva dessa posição — isto é mC(⋅) (o preço absoluto da exposição vendida).
  • Se você já recebeu algum crédito com o booster original, deve comparar esse crédito com a AR: a diferença é a “margem de segurança” média.

4 — Relação com o crédito recebido (prêmio) e decisão de assunção

Se o booster original (a combinação +C(K1​)−nC(K2​)) pagou um crédito líquido Πcredit​ hoje (prêmios recebidos líquidos), então a exposição líquida esperada (risco que resta) ao assumir a equivalência cardinal é aproximadamente: NetAssumptionRisk (por ac¸​a˜o)=ARper ac¸​a˜o​−Πcredit​.

  • Se AR≤Πcredit​ então, sob a expectativa risco-neutra, o crédito recebido cobre o valor esperado da cauda — a operação tem “esperança” não negativa (mas atenção: ainda há risco de cauda / variação).
  • Se AR>Πcredit​, o prêmio recebido não compensa o valor esperado da cauda vendida — o trader está, em média, cedendo mais valor do que recebeu (risco assumido maior que prêmio recebido).

Obs.: usar apenas a ordem mC(⋅) para AR é correto porque a equivalência cardinal foi construída para representar a cauda; mas lembre que o booster original tem comportamento diferente nas faixas intermediárias (onde pode gerar ganhos/perdas distintos). A AR aqui mede a cauda equivalente que o trader explicitamente “assume” ao aceitar a binarização.

5 — Exemplo numérico (caso clássico +C(24)−2C(26) com S0​=28)

Dados exemplo (hipotéticos para ilustração; use BS para números de mercado reais):

  • K1​=24, K2​=26, n=2⇒m=n−1=1.
  • Pela fórmula: Keq​=n−1nK2​−K1​​=2⋅26−24=28. (isto é o exemplo que você mencionou).
  • Assumption Risk por ação:

ARper ac¸​a˜o​=1×C(S0​=28,Keq​=28,T,r,σ) ou seja, o valor da call ATM com strike 28 e vencimento T. Multiplique por 100 para por contrato.

  • Se o booster original pagou hoje, por exemplo, Πcredit​=R$3,00 por ação, e a call ATM C(28) vale R$2,50 por ação, então:
    • AR=2.50, Πcredit​=3.00⇒ crédito > AR → margem teórica =0.50 por ação (positivo).
    • Se, ao contrário, C(28)=4.00>3.00 → AR > Pi_credit → você está assumindo risco cuja expectativa excede o prêmio recebido.

6 — Extensão ao Put-Booster (Dual) e simetria

Se a estrutura for no lado das puts: Boosterput​(K1​,K2​,n)=+P(K1​)−nP(K2​), a mesma álgebra funciona (com K1​>K2​ tipicamente para puts long abaixo, legs vendidas mais acima). A equivalência cardinal dá o strike Keq​ idêntico pela fórmula Keq​=n−1nK2​−K1​​ mas a interpretação é espelhada (agora a cauda de interesse é {S<K2​}), e a Assumption Risk é ARput​=m×P(S0​,Keq​,T,r,σ) onde agora m=n−1 e P(⋅) é o preço da put.

7 — Observações operacionais e conclusões

  1. A equivalência cardinal é uma equivalência da cauda (tail equivalence): garante que para S suficientemente alto (no caso calls) a combinação comporta-se como a posição vendida equivalente. Não é necessariamente igualdade de payoff em todas as faixas.
  2. Assumption Risk é bem definida e quantificável via preço (expectation) da call/put equivalente multiplicada por m=n−1. Usar Black-Scholes ou o modelo de precificação de sua escolha converte a AR em reais hoje.
  3. Decisão de assumir: compare AR com o crédito recebido — se o crédito cobre AR (com folga para custos e volatilidade), o binarizado tem justificativa; senão, você está “pagando esperança” e assumindo risco líquido.
  4. Roll / THL: em política de rolagem você deve só rolar se o prêmio adicional por essa rolagem exceder o CTU + aumento na AR (ou compensar incremento esperado no AR provocado pelo novo strike). Em outras palavras, cada mudança de strike que muda Keq​ também altera AR; avalie delta-AR antes de rolar.
  5. Risco residual: mesmo se Πcredit​≥AR, ainda existe risco de variação (vaR) — AR é expectativa, não garantia. Use stress tests (gaps, IV spikes).

8 — Fórmulas-resumo rápidas (copiar/colar)

  • m=n−1.
  • Keq​=n−1nK2​−K1​​.
  • AssumptionRiskper ac¸​a˜o​=m×C(S0​,Keq​,T,r,σ) (call-side).
  • AssumptionRiskpor contrato​=100⋅m⋅C(…).
  • NetExposureExpected = AR − PremiumReceived.

Brigite-reduced.png

para um Booster bem-estruturado em Calls, a perna comprada (+) deve ter o strike mais baixo; para o Booster em Puts, a perna comprada (+) deve ter o strike mais alto quando os dois boosters são conjugados (dual).

Vou primeiro explicar por que isso é correto (conciso, algébrico e intuitivo), e depois entrego o que pediu: o meu desenho do Dual Booster para as suposições que você pediu (assunção de venda em 25 e assunção de compra em 15 com ALFA4 entre 17–19), o payoff combinado no mesmo vencimento, e a tabela única de Δ transitório baseada na equivalência cardinal (strikes 10→30). Também disponibilizei a tabela CSV e o gráfico PNG (links abaixo).

1) Por que — regra das pernas compradas (call/put) e por que tenho que concordar

  • Uma call longa tem payoff crescente a partir do seu strike: ela “liga” (slope +1) quando o preço sobe acima do strike. Se você quer que a estrutura tenha uma zona neutra / teto entre strikes e que a combinação de pernas vendidas limite a exposição, a call LONG deve ser no menor strike (mais à esquerda no eixo de preços) para que ela comece a dar slope positivo cedo e seja depois parcialmente anulada pelas calls vendidas de strike maior. Caso contrário a função de payoff e sua cauda não terão o comportamento desejado e a equivalência cardinal não se constrói da forma esperada.
  • Analogamente, uma put longa tem payoff que “liga” por baixo do strike (slope −1 para S abaixo do strike). Quando conjugada, a put LONG deve ficar no maior strike (mais à esquerda na visão “de baixo”) porque ela precisa ativar primeiro quando o preço cai, sendo depois parcial/totalmente anulada pelas puts vendidas de strike menor.
  • Em termos algébricos isso vem da forma piecewise: para calls +C(K1​)−nC(K2​) precisamos K1​<K2​. Para puts +P(K1​)−nP(K2​) precisamos K1​>K2​. Assim a posição comprada é a “asa interna” que limita a inclinação antes da porção vendida dominar e formar a cauda cardinal.
  • Se você inverter (colocar a perna comprada mais alta para calls), a forma do payoff muda e o K_eq calculado pela fórmula Keq​=n−1nK2​−K1​​ deixa de ser a redução caudal que se espera — a interpretação binária e a assunção ficam desalinhadas.

Portanto: sim — para conjugação dual (CALL booster + PUT booster) a sua afirmação é correta: +Call deve ser strike menor; +Put deve ser strike maior.

2) Meu Dual Booster projetado (situação solicitada)

Condições: ativo ALFA4 entre R$17–R$19 (vamos tomar S0≈R$18 para referência), você quer:

  • Assumption (venda) em 25 — isto é, equivalente cardinal de CALL-side será venda em K_eq=25.
  • Assumption (compra) em 15 — isto é, equivalente cardinal de PUT-side será venda/assunção em K_eq=15 (para hedge/operação dual).

Escolhas (rácio n=2 — o caso clássico 2:1 → m = n-1 =1):

  • Call booster: +C(Kc1​)−2C(Kc2​) com Kc1​<Kc2​.
    • Escolhi Kc1​=22.0 (call comprada) e Kc2​=23.5 (duas calls vendidas).
    • Equivalência cardinal: Kc,eq​=2⋅23.5−22=25.0. → assunção de venda em 25.
  • Put booster (DUAL): +P(Kp1​)−2P(Kp2​) com Kp1​>Kp2​.
    • Escolhi Kp1​=18.0 (put comprada) e Kp2​=16.5 (duas puts vendidas).
    • Equivalência cardinal: Kp,eq​=2⋅16.5−18=15.0. → assunção de compra/entrada em 15.

Observação: escolhas de strikes são compatíveis com sua condição de ativo entre 17–19 (as pernas longas ficam próximas do spot — proteção acessível; pernas vendidas ficam OTM) e resultam nas equivalências pedidas (25 e 15).

3) Payoff combinado no mesmo vencimento (gráfico & tabela)

  • Eu calculei o payoff ao vencimento do conjunto (call booster + put booster) para S ∈ [10, 30] e gerei:

( já o exibi durante a execução — ele representa a forma “montanha dupla” com a zona neutra no centro.)

Resumo numérico rápido do payoff combinado:

  • A zona entre aproximadamente 16.5–23.5 (dependendo do detalhe) costuma produzir payoff positivo (você recebe prêmio);
  • Fora dessa zona (acima de 25 ou abaixo de 15) a exposição vira negativa (perdas lineares limitadas pela perna comprada remota), formando triângulos simétricos na cauda.

4) Tabela Única: Delta transitório baseada na equivalência cardinal (strikes 10→30)

Você pediu apenas 1 coluna com o delta transitório baseado na cardinalidade equivalente (isto é, a delta da posição equivalente binária construída pelos K_eq we chose: venda de Call em 25 e venda de Put em 15).

Usei a regra simples de delta ao vencimento para essas posições equivalentes:

  • Delta de venda de Put K=15 (short put) ao vencimento: +1 quando S < 15 (pois long put delta = −1 there; short is +1); 0 quando S ≥ 15.
  • Delta de venda de Call K=25 (short call) ao vencimento: −1 when S > 25; 0 when S ≤ 25.
  • A delta combinada cardinal é, portanto:
    • +1 se S < 15,
    • 0 se 15 ≤ S ≤ 25,
    • −1 if S > 25.
S (R$) delta_cardinal_equiv
10.0 +1.0
10.5 +1.0
... ...
14.5 +1.0
15.0 0.0
15.5 0.0
... ...
24.5 0.0
25.0 0.0
25.5 -1.0
26.0 -1.0
... ...
30.0 -1.0

5) Explicação por que o delta cardinal tem essa forma (intuitiva e ligada à binarização)

  • A equivalência cardinal transforma ambas as estruturas em dois contratos binários (curto call em 25 e curto put em 15). Esses dois contratos binários ativam apenas fora do intervalo [15,25].
  • Dentro do intervalo [15,25] nenhum dos equivalentes está “ligado” — delta = 0; fora deste intervalo há um único lado ativo:
    • abaixo de 15: short put atua (delta +1), pois a put comprada/vendida causa exposição positiva ao preço (vendedor de put tem delta +1 enquanto S muito baixo).
    • acima de 25: short call atua (delta −1), vendedor de call tem delta −1.
  • Isso é exatamente a leitura binária: a posição aggregate funciona como um disjuntor: ela é neutra entre 15–25 e assume um risco direcional unívoco fora dessa faixa.

6) Observações finais, recomendações operacionais e riscos

  • A cardinalidade equivalente é poderosa para decisões de assunção (assumption): se você aceita ser “vendedor” em 25 e em 15 (binariamente), você aceita a exposição de cauda resumida; caso contrário mantenha a estrutura completa e avalie a exposição intermediária.
  • Risco real: AR (Assumption Risk) deve ser calculado como preço das calls/puts equivalentes multiplicadas por m (conforme derivação anterior). Mesmo que a delta cardinal seja simples (+1/0/−1), a expectativa de perda depende de IV e tempo.
  • Rolagem/THL: se fizer rolagem semanal, compare o prêmio semanal recebido com CTU e com incremento de AR ao mover strikes (ver discussão anterior).
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