CONCEITOS NAO DIFUNDIDOS

Fonte: https://www.youtube.com/watch?v=duSSn5pdCOU

Professor Su with analisys if chatGPT Guided by Mario Caseiro

🧩 Núcleo da Teoria da Binarização (Brigitte)

1. Equivalência Cardinal
   • Uma combinação proporcional de opções em strikes contíguos pode ser reduzida a uma posição “binária” mais distante. Exemplo: +A30−2A32≡−A34 → Essa equivalência representa a compressão de payoff contínuo em uma função binária — ou o que Brigitte chama de “cardinalidade equivalente”.
   • O raciocínio é que, ao ajustar as proporções (1:-2:1), o perfil de lucro-prejuízo assume uma forma discreta: ou ocorre o evento (exercício binário), ou não.
2. Assunção (“Assumption”)
   • É o ponto em que o operador aceita o risco de exercício como parte do custo de manter a estrutura — semelhante à delta neutral boundary ajustada pela taxa de juros e volatilidade implícita.
   • A assunção define a fronteira entre a zona de probabilidade controlada e a zona de aceitação de risco.
   • Em termos práticos: a cada rolagem, o trader “aceita” parte da perda temporal (θ) em troca da convergência binária de payoff.
3. Binarização e Temporalidade
   • A decomposição binária transforma estruturas contínuas (como spreads, THL, boosters) em unidades discretas de evento, permitindo rolagem temporal calibrada (ex.: semanal).
   • O buraco temporal (“hole effect”) do THL — ou a degradação pelo CDI — é compensado pela recomposição binária da estrutura, desde que o operador role acima do custo temporal unitário.
4. Dualidade
   • Toda estrutura binarizada possui um dual simétrico: um equivalente inverso que anula (ou protege) o primeiro.
     • Ex.: um Booster Reverso em Calls tem seu Dual em Puts, com strikes deslocados (ITM/OTM) e razão inversa.
   • A equivalência dual é a base do hedge dinâmico binário, que permite operações autofinanciadas.
5. Interpretação Probabilística
   • A operação binarizada pode ser lida como uma cadeia de eventos booleanos (0 = não exercício, 1 = exercício), ponderada por seus prêmios.
   • Isso cria um modelo discreto de payoff que se aproxima da curva gaussiana contínua quando replicado em múltiplas escalas (como o princípio de superposição de opções)

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Mais sobre DUAL e Assunção. TODO: este artigo deverá ser dividido em mais de uma categoria, estamos ensinando o AI nossos conceitos e registrando aqui:

apresentado duas tabelas de transição de Δ (delta) — por ação (não preços) — para as duas estruturas que você pediu, no subjacente ALFA4 = R$28 como referência.

Vou usar a convenção simples de delta ao vencimento (payoff derivatives / inclinação por unidade de preço do subjacente):

• Call (C) ao vencimento: Δ(C(K)) = 0 se S ≤ K, Δ = +1 se S > K.
• Put (P) ao vencimento: Δ(P(K)) = −1 se S < K, Δ = 0 se S ≥ K.
• Para pernas vendidas multiplicamos por −1 (ex.: venda de 2 Calls → contribuição −2 quando válidas).
• Em pontos exatamente iguais ao strike a derivada é tecnicamente indefinida; uso desigualdades estritas (> ou <) para evitar ambiguidade e explico os casos de borda.

Vou também incluir, lado a lado, a coluna “equivalente cardinal” segundo a regra de binarização que vimos (K₃ = 2·K₂ − K₁). Assim:

• Para +A24 − 2A26 (1 Call K=24 long, −2 Calls K=26 short) a equivalência cardinal fica −A28 (venda 1 Call K=28).
• Para +M32 − 2M30 (interpreto M = Put) (1 Put K=32 long, −2 Puts K=30 short) a equivalência cardinal fica −M28 (venda 1 Put K=28).

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Tabela 1 — Estrutura CALL: +C(24) − 2·C(26)

Colunas: preço hipotético S, Δ da perna +C24, Δ da perna −2·C26, Δ total (por ação), Δ equivalente cardinal (−C28).

S (R$)	Δ(+C24)	Δ(−2·C26)	Δ total (por ação)	Δ(−C28) (cardinal equiv.)
22	0	0	0	0
24	0	0	0	0
25	1	0	+1	0
26	1	0	+1	0
27	1	−2	−1	0
28	1	−2	−1	0 (note: −C28 Δ = 0 at S≤28)
29	1	−2	−1	−1
30	1	−2	−1	−1
31	1	−2	−1	−1
32	1	−2	−1	−1
33	1	−2	−1	−1
34	1	−2	−1	−1

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Tabela 2 — Estrutura PUT: +P(32) − 2·P(30) (DUAL da anterior)

Colunas: S, Δ(+P32), Δ(−2·P30), Δ total (por ação), Δ equivalente cardinal (−P28).

S (R$)	Δ(+P32)	Δ(−2·P30)	Δ total (por ação)	Δ(−P28) (cardinal equiv.)
22	−1	+2	+1	+1
24	−1	+2	+1	+1
25	−1	+2	+1	+1
26	−1	+2	+1	+1
27	−1	+2	+1	+1
28	−1	+2	+1	0 (note: −P28 Δ = +1 only if S<28)
29	−1	+2	+1	0
30	−1	0	−1	0
31	−1	0	−1	0
32	0	0	0	0
33	0	0	0	0
34	0	0	0	0

Observações sobre a tabela 2

• A long put (K=32) contribui Δ = −1 enquanto S < 32; as 2 puts vendidas K=30 contribuem +2 (pois são puts vendidas) enquanto S < 30.
• Resultado agregado por faixas:
  • S < 30 → Δ = −1 + 2 = +1 (sinal positivo; exposto a alta do subjacente nessa faixa),
  • 30 ≤ S < 32 → Δ = −1 (apenas a put longa ativa),
  • S ≥ 32 → Δ = 0 (nenhuma perna com slope).
• O equivalente cardinal −P28 (venda de 1 put K=28) dá Δ = +1 para S < 28, mas 0 para S ≥ 28 — portanto novamente não coincide ponto a ponto com o Δ agregado da estrutura em todas as faixas; coincide apenas onde os eventos binários se alinham (S muito baixo).

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Por que esses payoffs/Δ acontecem (explicação conceitual e geométrica)

1. Cada opção modifica a inclinação (slope) do payoff a partir do seu strike.
   • Uma call longa adiciona +1 de slope quando você ultrapassa seu strike;
   • Uma call vendida adiciona −1 de slope (por unidade vendida) quando passa do seu strike.
   • Análogo para puts, mas com slope negativo ao cruzar um strike (put longa dá slope −1 para S abaixo do strike).
2. Combinações proporcionais criam zonas com slopes diferentes.
   • No primeiro exemplo, ao cruzar 24 a curva ganha slope +1; ao cruzar 26 o slope diminui em 2 (por causa das 2 calls vendidas) passando a −1. O comportamento do slope (Δ) é, portanto, peça-a-peça e resulta em uma mudança de inclinação em cada strike.
3. A “equivalência cardinal” reduz essa série de mudanças de inclinação a um único evento binário — vender 1 opção num strike mais distante — que, em termos binários (evento de exercício), captura a região onde a posição combinada tem exposição negativa agregada.
   • Entretanto, essa redução é uma abstração: ela mapeia a operação complexa para um contrato binário que representa o mesmo evento agregado de perda (ou a mesma “cardinalidade” de exercício) — mas não reproduz necessariamente a Δ local em cada faixa de preço.
   • Em termos práticos, a equivalência cardinal é muito útil para decisões de assunção de risco (assumption): um operador pode tratar a combinação +C(K1) −2C(K2) como se fosse, para fins de decisão, uma venda de C(K3) com K3=2K2−K1 — quando se avalia a probabilidade de “ser exercido” como evento binário.
4. Dualidade:
   • As duas estruturas são duais/opostas: a primeira tem Δ negativo em faixas altas (risco de alta), a segunda tem Δ positivo em faixas baixas (risco de baixa).
   • Essa dualidade é precisamente o que permite montar hedges DUAL (Call + Put boosters) que, quando combinados, podem neutralizar Δ em larga faixa e concentrar o risco em eventos binários simétricos em torno de um strike central (aqui 28).

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Conclusão prática & recomendações

• As tabelas mostram claramente como cada perna “liga/desliga” a inclinação do payoff em faixas de preço.
• A equivalência cardinal (−C28 / −P28) é uma ferramenta conceitual poderosa para pensar em assunção: você pode tratar a combinação de pernas como uma aceitação binária de exercício a um strike mais distante quando age em termos de gestão de risco/rolagem.
• Atenção às bordas: comportamento exato em S = strike depende de convenções e de considerações sobre exercício antecipado (dividendos) — sempre trate strikes como faixas abertas/fechadas de forma consistente na sua modelagem.
• Quando usar na prática:
  • use as tabelas de Δ para entender onde a exposição direcional aparece,
  • use a equivalência cardinal para decidir políticas de assunção/rolagem (ex.: se você está confortável em “aceitar” −C28 em vez de manter a estrutura 1:−2:1), e
  • combine ambas para desenhar a política de roll-up / roll-down e os gatilhos de hedge.

abaixo eu dou a derivação algébrica completa que transforma uma estrutura Booster genérica (calls ou puts, ratio n:1, etc.) na sua equivalência cardinal binária, e mostro como calcular a “Assumption Risk” (risco assumido) dessa equivalência. Incluo a fórmula geral, o passo a passo algébrico, interpretação probabilística e um exemplo numérico (o caso clássico +AK1​​−nAK2​​ que reduz para venda(s) em Keq​). No final deixo as observações operacionais (o que o trader realmente “assume” quando usa a equivalência).

Vou usar notação:

• C(K) = call com strike K.
• P(K) = put com strike K.
• +C(K) = posição longa 1 call; −C(K) = posição vendida 1 call.
• n inteiro ≥1 = número de calls vendidas numa perna ratio.
• m = número de calls vendidas no equivalente cardinal.
• S = preço do subjacente no vencimento T.
• EQ​[⋅] = esperança sob medida de risco-neutro.

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1 — Estrutura genérica do Booster (call-side)

Considere a estrutura (booster) simples com uma call longa e n calls vendidas em strike mais alto: Boostercall​(K1​,K2​,n)=+C(K1​)−nC(K2​),K1​<K2​. Payoff por ação ao vencimento S (somente componente intrínseca, sem preços atuais): Π(S)=max(S−K1​,0)−nmax(S−K2​,0). Vamos escrever isso de forma linear por faixas de S:

• Para S≤K1​: Π(S)=0.
• Para K1​<S≤K2​: Π(S)=(S−K1​). (slope = +1)
• Para S>K2​: Π(S)=(S−K1​)−n(S−K2​)=(1−n)S+(−K1​+nK2​). (slope = 1−n)

Observação: a função é piecewise-linear com “quebra” nos strikes K1​ e K2​.

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2 — Forma cardinal equivalente (venda de m calls em Keq​)

Procuramos representar a cauda superior (S>K2​) da função por uma posição vendida de m calls em algum strike Keq​: Equiv(m,Keq​)=−mC(Keq​). Payoff dessa posição para S>Keq​ é: Πequiv​(S)=−m(S−Keq​)=−mS+mKeq​. Se quisermos que os declives (slopes) na região S>K2​ coincidam, impomos −m=1−n⟹m=n−1. Ou seja: o equivalente vende (n−1) calls no strike Keq​. (para n=2 isto dá m=1, o caso clássico).

Agora igualamos as constantes (interceptos) da parte linear para que os payoffs coincidam para valores grandes de S. Igualando as expressões para S>K2​: (1−n)S+(−K1​+nK2​)=−mS+mKeq​. Substituindo m=n−1 e simplificando, obtemos a fórmula para Keq​: mKeq​=−K1​+nK2​⟹Keq​=n−1nK2​−K1​​.(Foˊrmula de equivaleˆncia cardinal) Verificação rápida: para n=2 temos Keq​=12K2​−K1​​=2K2​−K1​ (caso usado várias vezes).

Interpretação geométrica: essa transformação garante que, na cauda superior (para S>K2​), a função payoff da combinação +C(K1​)−nC(K2​) tem a mesma inclinação e o mesmo intercepto linear que a posição −(n−1)C(Keq​). Logo na cauda a equivalência é exata.

Limitação: as duas posições não são iguais para todos os S (especialmente entre K1​ e K2​ e abaixo de K1​). A equivalência cardinal é uma redução da cauda — é uma binarização da exposição de alta.

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3 — Assumption Risk (Risco de Assunção) da equivalência cardinal

Definição operacional: a Assumption Risk (AR) é o valor esperado, sob a medida risco-neutra, da perda esperada associada à cauda que você “aceita” ao tratar a sua posição composta como a posição vendida equivalente. Em termos práticos, é o valor presente do payoff da posição equivalente vendida (pois essa é a exposição binária que você está assumindo).

Para o caso acima, com m=n−1 e Keq​ dado, a Assumption Risk por ação (ARperac\c​a~o​) é: ARper ac¸​a˜o​=EQ​[m(ST​−Keq​)+]=m×C(S0​,Keq​,T,r,σ)​ onde C(⋅) é o preço teórico da call (Black-Scholes ou outra) — isto é, a esperança risco-neutra do payoff da call multiplicada por m.

Em termos por contrato (100 ações): ARpor contrato​=100⋅m⋅C(S0​,Keq​,T,r,σ). Por que isto faz sentido?

• A posição equivalente vendida −mC(Keq​) tem preço/expectativa −mC(S0​,Keq​). Se você quer saber quanto risco (valor esperado de perda) está assumindo ao aceitar a binarização, calcule a expectativa positiva dessa posição — isto é mC(⋅) (o preço absoluto da exposição vendida).
• Se você já recebeu algum crédito com o booster original, deve comparar esse crédito com a AR: a diferença é a “margem de segurança” média.

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4 — Relação com o crédito recebido (prêmio) e decisão de assunção

Se o booster original (a combinação +C(K1​)−nC(K2​)) pagou um crédito líquido Πcredit​ hoje (prêmios recebidos líquidos), então a exposição líquida esperada (risco que resta) ao assumir a equivalência cardinal é aproximadamente: NetAssumptionRisk (por ac¸​a˜o)=ARper ac¸​a˜o​−Πcredit​.

• Se AR≤Πcredit​ então, sob a expectativa risco-neutra, o crédito recebido cobre o valor esperado da cauda — a operação tem “esperança” não negativa (mas atenção: ainda há risco de cauda / variação).
• Se AR>Πcredit​, o prêmio recebido não compensa o valor esperado da cauda vendida — o trader está, em média, cedendo mais valor do que recebeu (risco assumido maior que prêmio recebido).

Obs.: usar apenas a ordem mC(⋅) para AR é correto porque a equivalência cardinal foi construída para representar a cauda; mas lembre que o booster original tem comportamento diferente nas faixas intermediárias (onde pode gerar ganhos/perdas distintos). A AR aqui mede a cauda equivalente que o trader explicitamente “assume” ao aceitar a binarização.

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5 — Exemplo numérico (caso clássico +C(24)−2C(26) com S0​=28)

Dados exemplo (hipotéticos para ilustração; use BS para números de mercado reais):

• K1​=24, K2​=26, n=2⇒m=n−1=1.
• Pela fórmula: Keq​=n−1nK2​−K1​​=2⋅26−24=28. (isto é o exemplo que você mencionou).
• Assumption Risk por ação:

ARper ac¸​a˜o​=1×C(S0​=28,Keq​=28,T,r,σ) ou seja, o valor da call ATM com strike 28 e vencimento T. Multiplique por 100 para por contrato.

• Se o booster original pagou hoje, por exemplo, Πcredit​=R$3,00 por ação, e a call ATM C(28) vale R$2,50 por ação, então:
  • AR=2.50, Πcredit​=3.00⇒ crédito > AR → margem teórica =0.50 por ação (positivo).
  • Se, ao contrário, C(28)=4.00>3.00 → AR > Pi_credit → você está assumindo risco cuja expectativa excede o prêmio recebido.

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6 — Extensão ao Put-Booster (Dual) e simetria

Se a estrutura for no lado das puts: Boosterput​(K1​,K2​,n)=+P(K1​)−nP(K2​), a mesma álgebra funciona (com K1​>K2​ tipicamente para puts long abaixo, legs vendidas mais acima). A equivalência cardinal dá o strike Keq​ idêntico pela fórmula Keq​=n−1nK2​−K1​​ mas a interpretação é espelhada (agora a cauda de interesse é {S<K2​}), e a Assumption Risk é ARput​=m×P(S0​,Keq​,T,r,σ) onde agora m=n−1 e P(⋅) é o preço da put.

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7 — Observações operacionais e conclusões

1. A equivalência cardinal é uma equivalência da cauda (tail equivalence): garante que para S suficientemente alto (no caso calls) a combinação comporta-se como a posição vendida equivalente. Não é necessariamente igualdade de payoff em todas as faixas.
2. Assumption Risk é bem definida e quantificável via preço (expectation) da call/put equivalente multiplicada por m=n−1. Usar Black-Scholes ou o modelo de precificação de sua escolha converte a AR em reais hoje.
3. Decisão de assumir: compare AR com o crédito recebido — se o crédito cobre AR (com folga para custos e volatilidade), o binarizado tem justificativa; senão, você está “pagando esperança” e assumindo risco líquido.
4. Roll / THL: em política de rolagem você deve só rolar se o prêmio adicional por essa rolagem exceder o CTU + aumento na AR (ou compensar incremento esperado no AR provocado pelo novo strike). Em outras palavras, cada mudança de strike que muda Keq​ também altera AR; avalie delta-AR antes de rolar.
5. Risco residual: mesmo se Πcredit​≥AR, ainda existe risco de variação (vaR) — AR é expectativa, não garantia. Use stress tests (gaps, IV spikes).

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8 — Fórmulas-resumo rápidas (copiar/colar)

• m=n−1.
• Keq​=n−1nK2​−K1​​.
• AssumptionRiskper ac¸​a˜o​=m×C(S0​,Keq​,T,r,σ) (call-side).
• AssumptionRiskpor contrato​=100⋅m⋅C(…).
• NetExposureExpected = AR − PremiumReceived.

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